一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.　　2.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的内外部： (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）. 四．双曲线的简单几何性质－=1（a＞0，b＞0） ⑴范围：|x|≥a，y∈R ⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为渐近线方程 ②若渐近线方程为双曲线可设为 ③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上） ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是 五．双曲线 与 的区别和联系标准方程性质 焦点 ，焦距范围顶点对称性 关于x轴、y轴和原点对称6.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝。 第三部分 典型例题分析 考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义[例1]某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680, c=1020，用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”【新题导练】1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ） A． B．12 C． D．24解析： ①又②由①、②解得直角三角形，故选B。2.如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A．9 B．16 C．18 D．27 [解析] ，选C3.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A） （B） （C） （D）［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知， 题型2 求双曲线的标准方程[例2 ]已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组[解析]解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为－=1.解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；[解析]设双曲线方程为，当时，化为，，当时，化为，，综上，双曲线方程为或5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为6.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A． B．C．（x > 0） D．[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 与渐近线有关的问题1.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A． B． C． D．[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B基础巩固训练 2.以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 （A） （B） （C） （D）[解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A类型三：综合练习1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（Ⅰ）求双曲线C的方程（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为.（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. ① 设，则，由得，而.于是，即解此不等式得 ②由①+②得故的取值范围为 2．已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）由消去，得（1）依题意即且（2）（2）设，，则∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴但 由（3）（4），，∴ 解得且满足（2）（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直∴ ，即 直线的方程为将代入（3）得 ∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为 但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。3．(1)椭圆C:(a＞b＞0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程; (2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：(1) (2)设中点为(x,y), F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上 Þ (3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1 则 为定值. 4.已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线存在，并设、 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由 得 根据,说明所求直线不存在。 5.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点。（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知 故曲线的方程为 设，由题意建立方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得∵依题意得整理后得∴或但 ∴故直线的方程为设，由已知，得∴，又，∴点将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴，点的坐标为到的距离为∴的面积6.已知P为双曲线的右支上一点，分别是椭圆的长轴顶点，连接交椭圆于，若与面积相等.（1）求直线的斜率和直线的倾斜角；（2）当的值为多少时，直线恰好过椭圆的右焦点？7.已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线交于,求线段的中点P的轨迹方程； （3）过点能否作直线，使与所给双曲线有两个交点，且点是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使・为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：由条件知，，设，．（I）解法一：（I）设，则则，，，由得即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即．将代入上式，化简得．当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．所以点的轨迹方程是． （II）假设在轴上存在定点，使为常数．当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是．因为是与无关的常数，所以，即，此时=．当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，此时．故在轴上存在定点，使为常数．9.（2009上海卷）（本题满分16分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。（1） 求双曲线C的方程； （2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；（3） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.（1）解 设双曲线的方程为 ，解得，双曲线的方程为（2）解 直线，直线由题意，得，解得（3）证明 方法一 设过原点且平行于的直线则直线与的距离当时， 又双曲线的渐近线为 双曲线的右支在直线的右下方， 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为（3）方法二 假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得设，当时，；将代入（2）得， 方程不存在正根，即假设不成立，故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为 10.（2009福建卷文）已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而 即又由得故又 当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或

8.4 双曲线的简单几何性质一、 本讲主要内容1、 双曲线的第二定义2、 双曲线的几何性质及应用3、 直线与双曲线的位置关系二、 学习指导1、 双曲线的几何性质分为两大类（1） 自身固有的几何性质： ① 位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直；② 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c。两准线之间距离为 ； 焦准距（焦参数） ；③ 离心率 ，e>1，e越大，双曲线开口越阔。（2） 解析性质（与坐标系有关），列表比较如下： 焦点在x轴上的双曲线 焦点在y轴上的双曲线方 程 （a>0，b>0） （a>0，b>0）顶 点 （±a，0），（0，±b） （0，±a），（±b，0）焦 点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2(0，c)准 线 x=± y=± 渐近线 y=± y=± 对称性 关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称范 围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R焦半径 P在左支：|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0P在右支：|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a P在下支：|PF1|=-a-ey0，|PF2|=a-ey0P在上支：|PF1|=ey0+a，|pF2|=ey0-a 2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同，见教材P112.例3。第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。 3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。但由于双曲线多了渐近线，因此当直线与双曲线有一个公共点时，其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切，此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x（或y）的二次方程的判别式△=0；二是直线与双曲线相交，具体地说，也就是直线与双曲线的渐近线平行。此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x（或y）的方程为一次方程。直线与双曲线相交时，基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法。不管是哪一种途径，都要强化设而不求的思想。4、在 （a>0，b>0）中，若a=b，则双曲线为等轴双曲线，其离心率 。5、 双曲线 与 称为共轭双曲线。 5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率e1、e2满足 =1。 6、已知双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 ；若已知渐近线方程为 ，则对应的双曲线方程为