第一次数学危机指古希腊数学家毕达哥拉斯的学生希帕索斯，在质疑根号二是否是有理数时引发的危机，直到定义出无理数，第一次数学危机得以解决。

公元前400年左右，以毕达哥拉斯为代表的毕达哥拉斯学派获得了丰硕的数学成果。例如他们提出了毕达哥拉斯定理（中国称勾股定理）。这个定理告诉我们：一个直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。

同时，毕达哥拉斯学派认为万物皆数，而且都是有理数。所谓有理数，就是指可以表示成两个互质的整数的比（分数）的形式的数。有理数可以分成三类：

1. 整数。例如3（可以表示成3/1）

2. 有限小数。例如2.5（可以表示成5/2）

3. 无限循环小数。例如0.333...(可以表示成1/3）0.806806806...（可以表示成806/999）

毕达哥拉斯学派认为：数轴上的点与有理数一一对应，任意一个线段长度都可以表示成两个整数的比。

在毕达哥拉斯学派为自己的成就沾沾自喜时，学派内部一个年轻学者希帕索斯提出了一点疑问。请问如果一个直角三角形两个直角边都是1，那么斜边的长度如何表示成两个整数的比呢？

显而易见，这个长度是根号2。现在我们知道，根号二不是有理数，因此不能表示成两个互质的整数的比。但是这样就动摇了毕达哥拉斯学派信仰的基础：万物皆是整数（或整数的比）。

这个问题因为无法得到合理的解答，最终可怜的希帕索斯被毕达哥拉斯扔进了爱琴海里。希帕索斯也成为历史上为探究真理而献身的人。

现在我们知道，数轴上的点与实数一一对应，而实数包含有理数与无理数两类。所谓无理数，就是无限不循环小数，无法表示成整数的比。例如圆周率pi=3.1415926...、自然对数的底e=2.71828...、根号二等，都是无理数。